Bài tập 13, § 1

Cho E là một không gian Banach kiểu đếm được trên K. Ta nhắc lại (EVT, IV, p. 70, bài tập 14) rằng một dãy $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các phần tử của E được gọi là một cơ sở Banach của E nếu, với mọi $x\in E$, tồn tại duy nhất một dãy vô hướng $(\lambda_n(x))_{n\in\mathbf{N}}$ sao cho

trong đó chuỗi hội tụ trong E.

a) Mọi không gian Hilbert kiểu đếm được đều có một cơ sở Banach; mọi không gian $\ell^p$(I), trong đó I là đếm được, đều có một cơ sở Banach.

b) Không gian Banach E gồm các hàm chỉnh hình bị chặn trên đĩa mở D bán kính 1 trong mặt phẳng phức, được trang bị chuẩn $\|f\|=$ sup$_{z\in D}|f(z)|$, có một cơ sở Banach.

c) Mọi không gian Banach E có một cơ sở Banach đều là một không gian xấp xỉ. Chính xác hơn, tồn tại một số thực $c\geqslant 0$ sao cho $1_E$ thuộc bao đóng trong không gian $\mathscr{L}_{pc}(E)$ của tập hợp các tự đồng cấu hạng hữu hạn và có chuẩn $\leqslant c$ trong E.