Exercice 15, § 1

Soit $E_0$ l’espace vectoriel complexe des fonctions $f:\mathbf{N}^*\times \mathbf{N}^*\rightarrow \mathbf{C}$. Pour $k\in \mathbf{N}^*$, soit $\alpha_k\in E_0$ la fonction telle que

$\{m^k$ si $1\leqslant n\leqslant k-1$

$n^k$ si $n\geqslant k$.

Soit E le sous-espace vectoriel de $E_0$ formé par les fonctions $f$ telles que $p_k(f)$ soit finie pour tout $k\in \mathbf{N}^*$, où $p_k$ est définie par

a) L’espace E muni de la topologie définie par les normes $(p_k)_{k\in\mathbf{N}^*}$ est un espace de Fréchet et un espace de Montel. Son dual $E'$ s’identifie au sous-espace de $E_0$ formé des fonctions $g$ telles que, pour un $k\geqslant 1$ au moins, on ait

sup$_{m,n}\alpha_k(m, n)^{-1}|g(m, n)|<+\infty$

(cf. EVT, IV, p. 63, exercice 8).

b) On considère l’application linéaire $u$ de E dans $\ell^1(\mathbf{N}^*)$ définie par

L’application linéaire $u$ est continue.

c) Identifions $\ell^{\infty}(\mathbf{N}^*)$ au dual de $\ell^1(\mathbf{N}^*)$. La transposée de $u$ est l’application $v:\ell^{\infty}(\mathbf{N}^*)\rightarrow E'\subset E_0$ déterminée par $(x_n)\mapsto f$ où $f(n, m) =x_m$ pour tout $(n, m)\in \mathbf{N}^*\times \mathbf{N}^*$.

d) L’application $u$ induit un isomorphisme $E/$ Ker($u$)$\rightarrow \ell^1(\mathbf{N}^*) ($cf. loc. cit.).

e) L’application $u$ n’est pas compacte.

f) La transposée $v$ de $u$ est compacte pour la topologie de la convergence sur les parties bornées de $\ell^{\infty}(\mathbf{N}^*)$.

g) L’application $v$ est un exemple d’application linéaire compacte entre espaces localement convexes séparés dont la transposée n’est pas compacte.