Bài tập 15, § 1

Cho $E_0$ là không gian vectơ phức của các hàm $f:\mathbf{N}^*\times \mathbf{N}^*\rightarrow \mathbf{C}$. Với $k\in \mathbf{N}^*$, cho $\alpha_k\in E_0$ là hàm sao cho

$\{m^k$ nếu $1\leqslant n\leqslant k-1$

$n^k$ nếu $n\geqslant k$.

Cho E là không gian con vectơ của $E_0$ tạo bởi các hàm $f$ sao cho $p_k(f)$ là hữu hạn với mọi $k\in \mathbf{N}^*$, trong đó $p_k$ được xác định bởi

a) Không gian E được trang bị tôpô xác định bởi các chuẩn $(p_k)_{k\in\mathbf{N}^*}$ là một không gian Fréchet và một không gian Montel. Đối ngẫu của nó $E'$ đồng nhất với không gian con của $E_0$ tạo bởi các hàm $g$ sao cho, với ít nhất một $k\geqslant 1$, ta có

sup$_{m,n}\alpha_k(m, n)^{-1}|g(m, n)|<+\infty$

(xem EVT, IV, p. 63, bài tập 8).

b) Ta xét ánh xạ tuyến tính $u$ từ E vào $\ell^1(\mathbf{N}^*)$ được xác định bởi

Ánh xạ tuyến tính $u$ là liên tục.

c) Ta đồng nhất $\ell^{\infty}(\mathbf{N}^*)$ với đối ngẫu của $\ell^1(\mathbf{N}^*)$. Ánh xạ chuyển vị của $u$ là ánh xạ $v:\ell^{\infty}(\mathbf{N}^*)\rightarrow E'\subset E_0$ được xác định bởi $(x_n)\mapsto f$ trong đó $f(n, m) =x_m$ với mọi $(n, m)\in \mathbf{N}^*\times \mathbf{N}^*$.

d) Ánh xạ $u$ cảm sinh một đẳng cấu $E/$ Ker($u$)$\rightarrow \ell^1(\mathbf{N}^*)$ (xem tài liệu đã dẫn).

e) Ánh xạ $u$ không compact.

f) Ánh xạ chuyển vị $v$ của $u$ là compact đối với tôpô hội tụ trên các phần bị chặn của $\ell^{\infty}(\mathbf{N}^*)$.

g) Ánh xạ $v$ là một ví dụ về một ánh xạ tuyến tính compact giữa các không gian lồi địa phương tách được mà ánh xạ chuyển vị của nó không compact.