Exercice 19, § 1

Soient X un espace topologique localement compact, métrisable et dénombrable à l’infini et $\mu$ une mesure positive sur X. On désigne par A l’ensemble des atomes de $\mu$. Soient $f\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$ et $p\in [1,+\infty ]$.

Démontrer que la multiplication par $f$ définit un endomorphisme compact de $L^p(X, \mu)$ si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont réalisées :

(i) L’ensemble $\{x\in X$ - $A|f(x)\not = 0\}$ est $\mu$-négligeable ;

(ii) Pour tout $\varepsilon >0$, il existe une partie finie F de A telle que $|f(a)|\leqslant \varepsilon$ pour tout $a\in A$ - F.

(Considérer la multiplication par $f$ sur l’espace $L^p(X_{\varepsilon}, \mu)$, où $X_{\varepsilon}$ est l’ensemble des $x\in X$ tels que $|f(x)|\geqslant \varepsilon .$)