Bài tập 19, § 1

Cho X là một không gian tôpô địa phương compact, mêtric hóa được và đếm được tại vô hạn, và $\mu$ là một độ đo dương trên X. Ký hiệu A là tập hợp các nguyên tử của $\mu$. Cho $f\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$ và $p\in [1,+\infty ]$.

Chứng minh rằng phép nhân bởi $f$ xác định một tự đồng cấu compact của $L^p(X, \mu)$ khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Tập hợp $\{x\in X$ - $A|f(x)\not = 0\}$ là không đáng kể đối với $\mu$ ;

(ii) Với mọi $\varepsilon >0$, tồn tại một tập con hữu hạn F của A sao cho $|f(a)|\leqslant \varepsilon$ với mọi $a\in A$ - F.

(Xét phép nhân bởi $f$ trên không gian $L^p(X_{\varepsilon}, \mu)$, trong đó $X_{\varepsilon}$ là tập hợp các $x\in X$ sao cho $|f(x)|\geqslant \varepsilon .$)