Exercice 2, § 1

Soient E et F des espaces de Banach sur K. On dit que $u\in \mathscr{L}(E; F)$ est complètement continu s’il est adhérent dans $\mathscr{L}(E; F)$ à l’espace $\mathscr{L}^f(E; F)$ des applications linéaires de rang fini. On note $\mathscr{L}^c(E; F)$ l’espace des applications linéaires complètement continues de E dans F, et on pose $\mathscr{L}^c(E) =\mathscr{L}^c(E; E)$. a) L’espace $\mathscr{L}^c(E)$ est un idéal bilatère fermé de $\mathscr{L}(E)$. Soit $u\in \mathscr{L}(E; F)$. L’application $\ell \mapsto \ell \circ u$ est une application linéaire continue de $F'$ dans $E'$, notée $^tu$. Si $u\in \mathscr{L}^c(E; F)$, alors $^tu\in \mathscr{L}^c(F'; E')$.

b) Soient J un ensemble et $F =\mathscr{C}_0(J)$. Soit $u\in \mathscr{L}(E; F)$. Pour tout $j\in J$, l’application $\ell_j:x\mapsto u(x)(j)$ est un élément de $E'$. On a $\|u\|=$ sup$_{j\in J}\|\ell_j\|$ et l’application $u\mapsto (\ell_j)_{j\in J}$ induit par passage aux sous-espaces un isomorphisme de $\mathscr{L}^c(E; F)$ dans l’espace de Banach $\mathscr{C}_0(J; E')$.

c) Si K est localement compact, alors $u\in \mathscr{L}(E; F)$ est complètement continu si et seulement si l’image par $u$ de toute partie bornée de E est relativement compacte dans F. (On pourra comparer ce résultat avec la prop. 11 de III, p. 16.)