Bài tập 2, § 1

Cho $E$ và $F$ là các không gian Banach trên $K$. Người ta nói rằng $u\in \mathscr{L}(E; F)$ là hoàn toàn liên tục nếu nó thuộc bao đóng trong $\mathscr{L}(E; F)$ của không gian $\mathscr{L}^f(E; F)$ các ánh xạ tuyến tính hạng hữu hạn. Ta ký hiệu bởi $\mathscr{L}^c(E; F)$ không gian các ánh xạ tuyến tính hoàn toàn liên tục từ E vào F, và đặt $\mathscr{L}^c(E) =\mathscr{L}^c(E; E)$. a) Không gian $\mathscr{L}^c(E)$ là một iđêan hai phía đóng của $\mathscr{L}(E)$. Cho $u\in \mathscr{L}(E; F)$. Ánh xạ $\ell \mapsto \ell \circ u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $F'$ vào $E'$, được ký hiệu bởi $^tu$. Nếu $u\in \mathscr{L}^c(E; F)$, thì $^tu\in \mathscr{L}^c(F'; E')$.

b) Cho J là một tập hợp và $F =\mathscr{C}_0(J)$. Cho $u\in \mathscr{L}(E; F)$. Với mọi $j\in J$, ánh xạ $\ell_j:x\mapsto u(x)(j)$ là một phần tử của $E'$. Ta có $\|u\|=$ sup$_{j\in J}\|\ell_j\|$ và ánh xạ $u\mapsto (\ell_j)_{j\in J}$ cảm sinh, khi chuyển qua các không gian con, một đẳng cấu của $\mathscr{L}^c(E; F)$ vào không gian Banach $\mathscr{C}_0(J; E')$.

c) Nếu K địa phương compact, thì $u\in \mathscr{L}(E; F)$ là hoàn toàn liên tục nếu và chỉ nếu ảnh bởi $u$ của mọi tập con bị chặn của E là tương đối compact trong F. (Có thể so sánh kết quả này với mệnh đề 11 của III, p. 16.)