Exercice 21, § 1

On désigne par D le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1 dans $\mathbf{C}$ et par $H^2(D)$ l’espace de Hardy sur D (EVT, V, p. 7, exemple 5). On note $\mathbf{T}=\mathbf{R}/2\pi \mathbf{Z}$, qu’on munit de la mesure de Haar normalisée. Soit $j$ l’isométrie de $H^2(D)$ dans $L^2(\mathbf{T})$ définie par

$j(f)(\theta ) =\sum f^(\overset{n)}{n}$!$(0)e^{in\theta}$.

$n\geqslant 0$

L’image de $H^2(D)$ par $j$ sera notée $H^2(\mathbf{T})$.

Soient $\widetilde{P}$ l’orthoprojecteur de $L^2(\mathbf{T})$ d’image $H^2(\mathbf{T})$ et P l’application linéaire $f\mapsto \widetilde{P}(f)$ de $L^2(\mathbf{T})$ dans $H^2(\mathbf{T})$. Si $f$ est un élément de $L^{\infty}(\mathbf{T})$, on désigne par $M_f$ l’endomorphisme $g\mapsto f g$ de $L^2(\mathbf{T})$.

Démontrer que si $f$ est une fonction continue, alors le commutateur $\widetilde{P}M_f-$ $M_f\widetilde{P}$ est une application linéaire compacte. (Considérer le cas particulier où $f$ est un polynôme trigonométrique.)