Bài tập 21, § 1

Cho $D$ là đĩa mở có tâm 0 và bán kính 1 trong $\mathbf{C}$ và cho $H^2(D)$ là không gian Hardy trên D (EVT, V, p. 7, ví dụ 5). Ta viết $\mathbf{T}=\mathbf{R}/2\pi \mathbf{Z}$, được trang bị độ đo Haar chuẩn hóa. Cho $j$ là đẳng cự của $H^2(D)$ vào $L^2(\mathbf{T})$ được xác định bởi

$j(f)(\theta ) =\sum f^(\overset{n)}{n}$!$(0)e^{in\theta}$.

$n\geqslant 0$

Ảnh của $H^2(D)$ qua $j$ sẽ được ký hiệu là $H^2(\mathbf{T})$.

Cho $\widetilde{P}$ là phép chiếu trực giao của $L^2(\mathbf{T})$ có ảnh $H^2(\mathbf{T})$ và cho P là ánh xạ tuyến tính $f\mapsto \widetilde{P}(f)$ của $L^2(\mathbf{T})$ vào $H^2(\mathbf{T})$. Nếu $f$ là một phần tử của $L^{\infty}(\mathbf{T})$, ta ký hiệu bởi $M_f$ tự đồng cấu $g\mapsto f g$ của $L^2(\mathbf{T})$.

Chứng minh rằng nếu $f$ là một hàm liên tục, thì giao hoán tử $\widetilde{P}M_f-$ $M_f\widetilde{P}$ là một ánh xạ tuyến tính compact. (Xét trường hợp riêng khi $f$ là một đa thức lượng giác.)