Exercice 22, § 1

On conserve les notations de l’exercice précédent. Soit R l’application linéaire continue de $H^2(\mathbf{T})$ dans $L^2(\mathbf{T})$ définie par $Rf(\theta ) =f(-\theta )$. Pour $g\in L^{\infty}(\mathbf{T})$, on pose $\Gamma_g=$ PM$_gR$. a) Démontrer que l’application linéaire $\Gamma :g\mapsto \Gamma_g$ de $L^{\infty}(\mathbf{T})$ dans $\mathscr{L}(H^2(\mathbf{T}))$ est continue, de norme $\leqslant 1$, et que son noyau F est égal à $H^2(\mathbf{T})^{\circ}\cap L^{\infty}(\mathbf{T})$. b) Si $g$ est une fonction continue, alors $\Gamma_g$ est un endomorphisme compact de $H^2(\mathbf{T})$.

c) Soit $g\in L^{\infty}(\mathbf{T})$. On note $\alpha_g$ la forme linéaire sur $H^2(\mathbf{T})$ définie par

Soit $\mathscr{A}$ l’image par $j$ du sous-espace de $H^2(D)$ constitué des fonctions holomorphes se prolongeant analytiquement à un voisinage de D. Démontrer que si $f_1$ et $f_2$ appartiennent à $\mathscr{A}$, alors

d) Soit $\varphi$ une fonction holomorphe au voisinage de $\overline{D}$ ne s’annulant pas sur $\partial D$, et soit $f=j(\varphi |D)$. Alors il existe $f_1$ et $f_2$ dans $\mathscr{A}$ tels que $f=f_1f_2$ et

(Soient $z_1, . . . , z_n$ les zéros de $\varphi$ dans D ; alors il existe une fonction $\psi$ holomorphe au voisinage de D telle que

$k=1$

pour tout $z.)$

e) Démontrer que, pour tout $f\in H^2(\mathbf{T})$, on a l’inégalité

(Si $\varphi \in H^2$(D), il existe une suite $(r_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de$]0,1[$ telle que, pour tout $n\in \mathbf{N}$, la fonction $\varphi_n$ définie par $\varphi_n(z) =\varphi (r_nz)$ n’a pas de zéros sur $\partial D$, et lim$\varphi_n=\varphi$ dans $H^2(D).$)

En déduire qu’il existe $h\in L^{\infty}(\mathbf{T})$ telle que

pour tout $f\in H^2(\mathbf{T})$, et $\|h\|_{L^{\infty}(\mathbf{T})}\leqslant \|\Gamma_g\|_{\mathscr{L}(H^2(\mathbf{T}))}$.

f) Démontrer qu’il existe $k\in L^{\infty}(\mathbf{T})$ telle que $\Gamma_g= \Gamma_k$ et $\|k\|_{L^{\infty}(\mathbf{T})}=$ $\|\Gamma_g\|_{\mathscr{L}(H^2(\mathbf{T}))}$.

L’application $\widehat{\Gamma} : L^{\infty}(\mathbf{T})/F\rightarrow \mathscr{L}(H^2(\mathbf{T}))$ est donc une isométrie (« Théo-rème de Nehari »).

g) Soit $g$ une fonction continue sur $\mathbf{T}$. Alors on a $d(g,F) =d(g,F\cap \mathscr{C}(\mathbf{T}))$. (Pour $R>1$, on définit l’application linéaire $P_R$ de $L^{\infty}(\mathbf{T})$ dans $\mathscr{C}(\mathbf{T})$ par

Alors $\|P_Rf\|_{\mathscr{C}(\mathbf{T})}\leqslant \|f\|_{L^{\infty}(\mathbf{T})}$ et, si $f\in \mathscr{C}(\mathbf{T})$, on a $P_Rf\rightarrow f$ dans $\mathscr{C}(\mathbf{T})$ quand $R\rightarrow 1.)$

En déduire que $\Gamma (\mathscr{C}(\mathbf{T}))$ est un sous-espace fermé de $\mathscr{L}(H^2(\mathbf{T}))$ (« Théo-rème de Sarason »).

h) Soit $g\in L^{\infty}(\mathbf{T})$ telle que $\Gamma_g$ soit un endomorphisme compact. Pour $m\in \mathbf{Z}$, on pose $e_m(\theta ) =e^{im\theta}$. Démontrer que $\|\Gamma_{ge_{-m}}\|_{\mathscr{L}(H^2(\mathbf{T}))}$ tend vers zéro lorsque $m$ tend vers $+\infty$, puis qu’il existe une suite $(h_m)_{m\in\mathbf{N}}$ de F telle que la suite $(e_mh_m)_{m\in\mathbf{N}}$ converge vers $g$ dans $L^{\infty}(\mathbf{T})$. En déduire qu’il existe une fonction continue dans la classe de $g$ modulo F (« Théorème de Hartman »).