Bài tập 22, § 1

Ta giữ ký hiệu của bài tập trước. Cho R là ánh xạ tuyến tính liên tục từ $H^2(\mathbf{T})$ vào $L^2(\mathbf{T})$ được xác định bởi $Rf(\theta ) =f(-\theta )$. Với $g\in L^{\infty}(\mathbf{T})$, đặt $\Gamma_g=$ PM$_gR$. a) Chứng minh rằng ánh xạ tuyến tính $\Gamma :g\mapsto \Gamma_g$ từ $L^{\infty}(\mathbf{T})$ vào $\mathscr{L}(H^2(\mathbf{T}))$ là liên tục, có chuẩn $\leqslant 1$, và hạt nhân F của nó bằng $H^2(\mathbf{T})^{\circ}\cap L^{\infty}(\mathbf{T})$. b) Nếu $g$ là một hàm liên tục, thì $\Gamma_g$ là một tự đồng cấu compact của $H^2(\mathbf{T})$.

c) Cho $g\in L^{\infty}(\mathbf{T})$. Ký hiệu bởi $\alpha_g$ dạng tuyến tính trên $H^2(\mathbf{T})$ được xác định bởi

Cho $\mathscr{A}$ là ảnh qua $j$ của không gian con của $H^2(D)$ gồm các hàm chỉnh hình chấp nhận một mở rộng giải tích tới một lân cận của D. Chứng minh rằng nếu $f_1$ và $f_2$ thuộc $\mathscr{A}$, thì

d) Cho $\varphi$ là một hàm chỉnh hình trong một lân cận của $\overline{D}$ mà không triệt tiêu trên $\partial D$, và cho $f=j(\varphi |D)$. Khi đó tồn tại $f_1$ và $f_2$ trong $\mathscr{A}$ sao cho $f=f_1f_2$ và

(Cho $z_1, . . . , z_n$ là các điểm không của $\varphi$ trong D; khi đó tồn tại một hàm chỉnh hình $\psi$ trong một lân cận của D sao cho

$k=1$

với mọi $z.)$

e) Chứng minh rằng, với mọi $f\in H^2(\mathbf{T})$, ta có bất đẳng thức

(Nếu $\varphi \in H^2$(D), tồn tại một dãy $(r_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de$]0,1[$ sao cho, với mọi $n\in \mathbf{N}$, hàm $\varphi_n$ được xác định bởi $\varphi_n(z) =\varphi (r_nz)$ không có điểm không trên $\partial D$, và lim$\varphi_n=\varphi$ trong $H^2(D).$)

Suy ra rằng tồn tại $h\in L^{\infty}(\mathbf{T})$ sao cho

với mọi $f\in H^2(\mathbf{T})$, và $\|h\|_{L^{\infty}(\mathbf{T})}\leqslant \|\Gamma_g\|_{\mathscr{L}(H^2(\mathbf{T}))}$.

f) Chứng minh rằng tồn tại $k\in L^{\infty}(\mathbf{T})$ sao cho $\Gamma_g= \Gamma_k$ và $\|k\|_{L^{\infty}(\mathbf{T})}=$ $\|\Gamma_g\|_{\mathscr{L}(H^2(\mathbf{T}))}$.

Vì vậy ánh xạ $\widehat{\Gamma} : L^{\infty}(\mathbf{T})/F\rightarrow \mathscr{L}(H^2(\mathbf{T}))$ là một đẳng cự ("Định lý Nehari").

g) Cho $g$ là một hàm liên tục trên $\mathbf{T}$. Khi đó ta có $d(g,F) =d(g,F\cap \mathscr{C}(\mathbf{T}))$. (Với $R>1$, định nghĩa ánh xạ tuyến tính $P_R$ từ $L^{\infty}(\mathbf{T})$ vào $\mathscr{C}(\mathbf{T})$ bởi

Khi đó $\|P_Rf\|_{\mathscr{C}(\mathbf{T})}\leqslant \|f\|_{L^{\infty}(\mathbf{T})}$ và, nếu $f\in \mathscr{C}(\mathbf{T})$, thì ta có $P_Rf\rightarrow f$ trong $\mathscr{C}(\mathbf{T})$ khi $R\rightarrow 1.)$

Suy ra rằng $\Gamma (\mathscr{C}(\mathbf{T}))$ là một không gian con đóng của $\mathscr{L}(H^2(\mathbf{T}))$ ("Định lý Sarason").

h) Cho $g\in L^{\infty}(\mathbf{T})$ sao cho $\Gamma_g$ là một tự đồng cấu compact. Với $m\in \mathbf{Z}$, đặt $e_m(\theta ) =e^{im\theta}$. Chứng minh rằng $\|\Gamma_{ge_{-m}}\|_{\mathscr{L}(H^2(\mathbf{T}))}$ tiến tới không khi $m$ tiến tới $+\infty$, rồi chứng minh rằng tồn tại một dãy $(h_m)_{m\in\mathbf{N}}$ của F sao cho dãy $(e_mh_m)_{m\in\mathbf{N}}$ hội tụ tới $g$ trong $L^{\infty}(\mathbf{T})$. Suy ra rằng tồn tại một hàm liên tục trong lớp của $g$ modulo F ("Định lý Hartman").