Exercice 24, § 1

Soient E un espace de Banach réel ou complexe et $u\in \mathscr{L}(E)$. On suppose que la suite $(u^n)_{n\in\mathbf{N}}$ est bornée et que $u$ est compact de E dans E muni de la topologie faible $\sigma (E,E')$. Pour tout entier $N\geqslant 1$, on pose

a) Soit F l’adhérence de l’image de $1_E-u$. Pour tout $x\in F$, on a $v_N(x)\rightarrow 0$ dans E quand $N\rightarrow +\infty$.

b) Soit $x\in E$. La suite $(v_N(x))$ converge vers un élément $y\in E$ tel que $u(y) =y$. (Il existe une sous-suite de $(v_N(x))$ qui converge faiblement vers $y\in E$; montrer que $x-y\in F$ à l’aide du théorème de Hahn–Banach.)

c) L’application $w: E\rightarrow E$ telle que $w(x)$ est l’élément $y$ donné par la question précédente est un projecteur continu d’image l’espace propre de $u$ relatif à la valeur propre 1.

d) Soit $z\in \mathbf{C}$ tel que $|z|= 1$. La suite dans $\mathscr{L}(E)$ définie par

converge dans $\mathscr{L}(E)$ muni de la topologie de la convergence simple. Soit $w_z$ sa limite. Alors $w_z$ est un projecteur, on a $w_zw=ww_z=zw_z$ et $w_{z_1}w_{z_2}= 0$ si $z_1\not =z_2$.