Bài tập 24, § 1

Cho E là một không gian Banach thực hoặc phức và $u\in \mathscr{L}(E)$. Giả sử rằng dãy $(u^n)_{n\in\mathbf{N}}$ bị chặn và rằng $u$ là compact từ E vào E được trang bị tôpô yếu $\sigma (E,E')$. Với mọi số nguyên $N\geqslant 1$, đặt

a) Gọi F là bao đóng của ảnh của $1_E-u$. Với mọi $x\in F$, ta có $v_N(x)\rightarrow 0$ trong E khi $N\rightarrow +\infty$.

b) Cho $x\in E$. Dãy $(v_N(x))$ hội tụ đến một phần tử $y\in E$ sao cho $u(y) =y$. (Tồn tại một dãy con của $(v_N(x))$ hội tụ yếu đến $y\in E$; hãy chứng minh rằng $x-y\in F$ bằng cách sử dụng định lý Hahn–Banach.)

c) Ánh xạ $w: E\rightarrow E$ sao cho $w(x)$ là phần tử $y$ được cho bởi câu hỏi trước là một phép chiếu liên tục có ảnh là không gian thực sự của $u$ đối với trị riêng 1.

d) Cho $z\in \mathbf{C}$ sao cho $|z|= 1$. Dãy trong $\mathscr{L}(E)$ được xác định bởi

hội tụ trong $\mathscr{L}(E)$ được trang bị tôpô hội tụ đơn giản. Gọi $w_z$ là giới hạn của nó. Khi đó $w_z$ là một phép chiếu, ta có $w_zw=ww_z=zw_z$ và $w_{z_1}w_{z_2}= 0$ nếu $z_1\not =z_2$.