Exercice 25, § 1

a) Soit $N\geqslant 1$ un entier. On note $G_N$ (resp. $H_N$) l’ensemble $\{-1,1\}^N$ (resp. l’ensemble $\{-1,2\}^N$). On note $\mu_N$ (resp. $\nu_N$) la mesure positive de masse totale 1 sur $G_N$ (resp. sur $H_N$) telle que, pour tout $(t_i)_{1\leqslant i\leqslant N}$ dans $G_N$ (resp. dans $H_N$), on a $\mu_N((t_i)_{1\leqslant i\leqslant N}) =_2^{1_N}$, resp.

1 $^j$ 2 $^{N-j}$

3 3 où $j$ est le nombre d’indices $i$ tels que $t_i= 2$.

Il existe un nombre réel $c >0$ tel que, pour toute famille $(a_i)_{1\leqslant i\leqslant N}$ de nombres complexes, on a

$\mu_N(\{(t_i)_{1\leqslant i\leqslant N}\in G_N||\sum^Na_it_i|> c$(log $N$)$^{1/2}(\sum^N|a_i|^2)^{1/2}\})<\frac{c}{N^3}$,

$i=1i=1$

et

$\nu_N(\{(t_i)_{1\leqslant i\leqslant N}\in H_N||\sum^Na_it_i|> c$(log $N$)$^{1/2}(\sum^N|a_i|^2)^{1/2}\})<\frac{c}{N^3}$.

$i=1i=1$

(On peut supposer que $a_i\in \mathbf{R}$ pour tout $i$ et que $\sum|a_i|^2= 1$; pour la première inégalité, démontrer et utiliser la majoration

$\int_{G_N}$ exp$(\lambda |\sum_{i=1}^Na_it_i|)d\mu_N\leqslant 2$ exp($\lambda^2$)

pour tout réel $\lambda >0$; raisonner de manière similaire pour la seconde majoration en utilisant l’inégalité $\frac{1}{3}(e^{2x}+ 2e^{-x})\leqslant e^{2x^2}$ pour tout $x\in \mathbf{R}.)$

b) Pour $k\in \mathbf{N}$, soit $A_k=\mathbf{Z}/(3\cdot 2^k)\mathbf{Z}$. Il existe un nombre réel $c'>0$, ne dépendant pas de $k$, et une fonction $f_k:\widehat{A}_k\rightarrow \{-1,2\}$ telle que

et, pour tout $x\in A_k$, on ait

(À l’aide de a), déterminer l’existence d’une fonction $f_k$ satisfaisant à la seconde condition, puis modifier $f_k$ pour obtenir la première.)

On note $B_k$ (resp. $C_k$) l’ensemble des caractères $\chi$ de $A_k$ tels que $f_k(\chi ) = 2$ (resp. $f_k(\chi ) =-1$). On a Card(B$_k$) $= 2^k$ et Card(C$_k$) $= 2^{k+1}$.

Pour tout $k\geqslant 1$, on fixe une bijection $\iota_k: B_k\rightarrow C_{k-1}$.

On note A l’ensemble somme des $A_k$ pour $k\in \mathbf{N}$; on munit A de la topologie discrète, et on note $E =\mathscr{C}_b(A)$.

On fixe une famille $\varepsilon = (\varepsilon_k)_{k\geqslant\mathbf{N}}$ de fonctions $\varepsilon_k: B_k\rightarrow \{-1,1\}$. On définit alors des fonctions $e_{k,\chi}\in E$, pour $k\in \mathbf{N}$ et $\chi \in B_k$, par

$\iota_k(\chi )(x)$ si $k\geqslant 1$ et $x\in A_{k-1}$,

$e_{k,\chi}(x) =\varepsilon_k(\chi )\chi (x)$ si $x\in A_k$

0 sinon.

On note $E_{\varepsilon}$ le sous-espace fermé de E engendré par les fonctions $(e_{k,\chi})_{k\in\mathbf{N},\chi\in B_k}$. C’est un espace de Banach complexe de type dénombrable. Le reste de l’exercice a pour but de démontrer que, pour un choix convenable de $\varepsilon$, l’espace $E_{\varepsilon}$ n’a pas la propriété d’approximation ; il n’admet pas de base banachique.

c) Pour $k\in \mathbf{N}$ et $\chi \in B_k$, il existe une forme linéaire continue $\lambda_{k,\chi}\in E'_{\varepsilon}$ telle que, pour tout $f\in E_{\varepsilon}$,

$\lambda_{k,\chi}(f) =$ Card(A1 $_k$)$\sum\varepsilon_k(\chi )\chi (x^{-1})f(x)$.

$x\in A_k$

Pour $k\geqslant 1$ et $f\in E_{\varepsilon}$, on a

$\lambda_{k,\chi}(f) =$ Card(A2 $_k$)$\sum\iota_k(\chi )(x^{-1})f(x)$.

$x\in A_k$

d) Pour tout $k\in \mathbf{N}$, soit $\beta_k$ la forme linéaire continue sur $\mathscr{L}(E_{\varepsilon})$ définie par

$\chi \in B_k$

On a $\beta_k(1_{E_{\varepsilon}}) = 1$.

e) Soient $u\in \mathscr{L}(E_{\varepsilon})$ et $k\in \mathbf{N}$. On a

$\beta_{k+1}(u)-\beta_k(u) =$ Card(A1 $_k$)$\sum u(\varphi_{k,x})(x)$

$x\in A_k$

où, pour $x\in A_k$, on pose

$\chi \in B_{k+1}\chi \in B_k$

On a $|\varphi_{k,x}(y)|\leqslant c'(k+ 1)^{1/2}2^{-k/2}$ pour $(x, y)\in A^2_k$.

f) Il existe un nombre réel $c''\geqslant c'$ tel que, pour tout $k\geqslant 1$, il existe une fonction $\varepsilon_k: B_k\rightarrow \{-1,1\}$ qui vérifie $|\varphi_{k,x}(y)|\leqslant c''3(k+ 1)^{1/2}2^{-k/2}$ pour $(x, y)\in A_k\times A_{k-1}$. (Appliquer la première inégalité de a).) On suppose désormais que $\varepsilon = (\varepsilon_k)$ vérifie ces propriétés.

g) Pour tout $k\in \mathbf{N}$ et $x\in A_k$, on a $\|\varphi_{k,x}\|\leqslant c''(k+ 1)^{1/2}2^{-k/2}$.

h) Soit K le sous-ensemble de $E_{\varepsilon}$ dont les éléments sont $e_{0,\chi_0}$, où $\chi_0$ est l’unique élément de $B_0$, et les fonctions $(k+ 1)^2\varphi_{k,x}$ pour $k\in \mathbf{N}$ et $x\in A_k$. L’ensemble K est relativement compact dans $E_{\varepsilon}$, et on a

$|\beta_{k+1}(u)-\beta_k(u)|\leqslant$ 1 $_2$ sup$\|u(x)\|$

pour tout $k\in \mathbf{N}$ et tout $u\in \mathscr{L}(E_{\varepsilon})$.

i) La suite $(\beta_k)_{k\in\mathbf{N}}$ converge dans le dual de l’espace $\mathscr{L}(E_{\varepsilon})$ muni de la topologie de la convergence simple. Notons $\beta$ sa limite. Pour tout $u\in \mathscr{L}(E_{\varepsilon})$, on a $|\beta (u)|\leqslant 3$ sup$_{x\in K}\|u(x)\|$.

j) On a $\beta (1_{E_{\varepsilon}}) = 1$ et $\beta (u) = 0$ si $u$ est de rang fini.

k) L’espace $E_{\varepsilon}$ n’a pas la propriété d’approximation. l) Soit $p\in ]2,+\infty [$. On munit A de la mesure de comptage et on note $E^p_{\varepsilon}$ le sous-espace fermé de $L^p(A)$ engendré par les $(e_{k,\chi})_{k\in\mathbf{N},\chi\in B_k}$. L’espace $E^p_{\varepsilon}$ n’a pas la propriété d’approximation. (Vérifier que le cardinal du support de $\varphi_{k,x}$ est $\leqslant 21\cdot 2^k$ et en déduire que $\|\varphi_{k,x}\|_p= O((k+ 1)^{1/2}2^{-k(p-2)/2p})$ pour $k\in \mathbf{N}$ et $x\in A_k.$)