Bài tập 25, § 1

a) Cho $N\geqslant 1$ là một số nguyên. Ta ký hiệu bởi $G_N$ (tương ứng $H_N$) tập $\{-1,1\}^N$ (tương ứng tập $\{-1,2\}^N$). Ta ký hiệu bởi $\mu_N$ (tương ứng $\nu_N$) độ đo dương có khối lượng toàn phần bằng 1 trên $G_N$ (tương ứng trên $H_N$) sao cho, với mọi $(t_i)_{1\leqslant i\leqslant N}$ trong $G_N$ (tương ứng trong $H_N$), ta có $\mu_N((t_i)_{1\leqslant i\leqslant N}) =_2^{1_N}$, tương ứng.

1 $^j$ 2 $^{N-j}$

3 3 trong đó $j$ là số các chỉ số $i$ sao cho $t_i= 2$.

Tồn tại một số thực $c >0$ sao cho, với mọi họ $(a_i)_{1\leqslant i\leqslant N}$ các số phức, ta có

$\mu_N(\{(t_i)_{1\leqslant i\leqslant N}\in G_N||\sum^Na_it_i|> c$(log $N$)$^{1/2}(\sum^N|a_i|^2)^{1/2}\})<\frac{c}{N^3}$,

$i=1i=1$

và

$\nu_N(\{(t_i)_{1\leqslant i\leqslant N}\in H_N||\sum^Na_it_i|> c$(log $N$)$^{1/2}(\sum^N|a_i|^2)^{1/2}\})<\frac{c}{N^3}$.

$i=1i=1$

(Có thể giả sử rằng $a_i\in \mathbf{R}$ với mọi $i$ và rằng $\sum|a_i|^2= 1$; đối với bất đẳng thức thứ nhất, hãy chứng minh và sử dụng cận trên

$\int_{G_N}$ exp$(\lambda |\sum_{i=1}^Na_it_i|)d\mu_N\leqslant 2$ exp($\lambda^2$)

với mọi số thực $\lambda >0$; lập luận tương tự cho cận trên thứ hai bằng cách dùng bất đẳng thức $\frac{1}{3}(e^{2x}+ 2e^{-x})\leqslant e^{2x^2}$ với mọi $x\in \mathbf{R}.)$

b) Với $k\in \mathbf{N}$, đặt $A_k=\mathbf{Z}/(3\cdot 2^k)\mathbf{Z}$. Tồn tại một số thực $c'>0$, độc lập với $k$, và một hàm $f_k:\widehat{A}_k\rightarrow \{-1,2\}$ sao cho

và, với mọi $x\in A_k$, ta có

(Với sự trợ giúp của a), hãy thiết lập sự tồn tại của một hàm $f_k$ thỏa mãn điều kiện thứ hai, rồi biến đổi $f_k$ để thu được điều kiện thứ nhất.)

Ta ký hiệu bởi $B_k$ (tương ứng $C_k$) tập các ký tự $\chi$ của $A_k$ sao cho $f_k(\chi ) = 2$ (tương ứng $f_k(\chi ) =-1$). Ta có Card(B$_k$) $= 2^k$ và Card(C$_k$) $= 2^{k+1}$.

Với mọi $k\geqslant 1$, ta cố định một song ánh $\iota_k: B_k\rightarrow C_{k-1}$.

Ta ký hiệu bởi A tập hợp tổng của các $A_k$ với $k\in \mathbf{N}$; ta trang bị cho A tôpô rời rạc, và ký hiệu bởi $E =\mathscr{C}_b(A)$.

Ta cố định một họ $\varepsilon = (\varepsilon_k)_{k\geqslant\mathbf{N}}$ các hàm $\varepsilon_k: B_k\rightarrow \{-1,1\}$. Khi đó ta định nghĩa các hàm $e_{k,\chi}\in E$, với $k\in \mathbf{N}$ và $\chi \in B_k$, bởi

$\iota_k(\chi )(x)$ nếu $k\geqslant 1$ và $x\in A_{k-1}$,

$e_{k,\chi}(x) =\varepsilon_k(\chi )\chi (x)$ nếu $x\in A_k$

0 trong các trường hợp khác.

Ta ký hiệu bởi $E_{\varepsilon}$ không gian con đóng của E sinh bởi các hàm $(e_{k,\chi})_{k\in\mathbf{N},\chi\in B_k}$. Đó là một không gian Banach phức kiểu đếm được. Phần còn lại của bài tập nhằm chứng minh rằng, với một lựa chọn thích hợp của $\varepsilon$, không gian $E_{\varepsilon}$ không có tính chất xấp xỉ; nó không thừa nhận một cơ sở Banach.

c) Với $k\in \mathbf{N}$ và $\chi \in B_k$, tồn tại một dạng tuyến tính liên tục $\lambda_{k,\chi}\in E'_{\varepsilon}$ sao cho, với mọi $f\in E_{\varepsilon}$,

$\lambda_{k,\chi}(f) =$ Card(A1 $_k$)$\sum\varepsilon_k(\chi )\chi (x^{-1})f(x)$.

$x\in A_k$

Với $k\geqslant 1$ và $f\in E_{\varepsilon}$, ta có

$\lambda_{k,\chi}(f) =$ Card(A2 $_k$)$\sum\iota_k(\chi )(x^{-1})f(x)$.

$x\in A_k$

d) Với mọi $k\in \mathbf{N}$, gọi $\beta_k$ là dạng tuyến tính liên tục trên $\mathscr{L}(E_{\varepsilon})$ được định nghĩa bởi

$\chi \in B_k$

Ta có $\beta_k(1_{E_{\varepsilon}}) = 1$.

e) Cho $u\in \mathscr{L}(E_{\varepsilon})$ và $k\in \mathbf{N}$. Ta có

$\beta_{k+1}(u)-\beta_k(u) =$ Card(A1 $_k$)$\sum u(\varphi_{k,x})(x)$

$x\in A_k$

trong đó, với $x\in A_k$, ta đặt

$\chi \in B_{k+1}\chi \in B_k$

Ta có $|\varphi_{k,x}(y)|\leqslant c'(k+ 1)^{1/2}2^{-k/2}$ với $(x, y)\in A^2_k$.

f) Tồn tại một số thực $c''\geqslant c'$ sao cho, với mọi $k\geqslant 1$, tồn tại một hàm $\varepsilon_k: B_k\rightarrow \{-1,1\}$ thỏa mãn $|\varphi_{k,x}(y)|\leqslant c''3(k+ 1)^{1/2}2^{-k/2}$ với $(x, y)\in A_k\times A_{k-1}$. (Áp dụng bất đẳng thức thứ nhất của a).) Từ đây về sau ta giả sử rằng $\varepsilon = (\varepsilon_k)$ thỏa mãn các tính chất này.

g) Với mọi $k\in \mathbf{N}$ và $x\in A_k$, ta có $\|\varphi_{k,x}\|\leqslant c''(k+ 1)^{1/2}2^{-k/2}$.

h) Gọi K là tập con của $E_{\varepsilon}$ mà các phần tử của nó là $e_{0,\chi_0}$, trong đó $\chi_0$ là phần tử duy nhất của $B_0$, và các hàm $(k+ 1)^2\varphi_{k,x}$ với $k\in \mathbf{N}$ và $x\in A_k$. Tập K là tương đối compắc trong $E_{\varepsilon}$, và ta có

$|\beta_{k+1}(u)-\beta_k(u)|\leqslant$ 1 $_2$ sup$\|u(x)\|$

với mọi $k\in \mathbf{N}$ và mọi $u\in \mathscr{L}(E_{\varepsilon})$.

i) Dãy $(\beta_k)_{k\in\mathbf{N}}$ hội tụ trong đối ngẫu của không gian $\mathscr{L}(E_{\varepsilon})$ được trang bị tôpô hội tụ đơn giản. Ký hiệu $\beta$ là giới hạn của nó. Với mọi $u\in \mathscr{L}(E_{\varepsilon})$, ta có $|\beta (u)|\leqslant 3$ sup$_{x\in K}\|u(x)\|$.

j) Ta có $\beta (1_{E_{\varepsilon}}) = 1$ và $\beta (u) = 0$ nếu $u$ có hạng hữu hạn.

k) Không gian $E_{\varepsilon}$ không có tính chất xấp xỉ. l) Gọi $p\in ]2,+\infty [$. Trang bị cho A độ đo đếm và ký hiệu bởi $E^p_{\varepsilon}$ không gian con đóng của $L^p(A)$ sinh bởi các $(e_{k,\chi})_{k\in\mathbf{N},\chi\in B_k}$. Không gian $E^p_{\varepsilon}$ không có tính chất xấp xỉ. (Hãy kiểm tra rằng lực lượng của giá đỡ của $\varphi_{k,x}$ là $\leqslant 21\cdot 2^k$ và suy ra rằng $\|\varphi_{k,x}\|_p= O((k+ 1)^{1/2}2^{-k(p-2)/2p})$ với $k\in \mathbf{N}$ và $x\in A_k.$)