Exercice 26, § 1

Soient E et F des espaces de Banach et $u$ une application linéaire continue de E dans F.

a) Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) L’application $u$ est compacte ;

(ii) Il existe une suite $(x'_n)_n$ tendant vers 0 dans le dual fort $E'$ de E satisfaisant à $\|u(x)\|\leqslant$ sup$|\langle x, x'_n\rangle |$ pour tout $x\in E$;

(iii) Il existe un sous-espace fermé L de l’espace de Banach $c_0$ et des applications linéaires compactes $f: E\rightarrow L$ et $g: L\rightarrow F$ telles que $u=g\circ f$. (Si $u$ est compacte, appliquer le cor. 1 de EVT, IV, p. 24 à l’image par $^tu$ du polaire de la boule unité de F. Sous l’hypothèse (ii), soient $(\lambda_n)$ un élément de $c_0$ tel que la suite $(\lambda^{-1}_nx'_n)$ tende vers 0 ; définir $f$ par $f(x) = (\langle x, \lambda^{-1}_nx'_n\rangle )_n$ et prendre pour L l’adhérence de l’image de $f.$)

b) Si $u$ est compacte, on a $\|u\|=$ inf(sup$_n\|x'_n\|$), la borne inférieure étant prise sur l’ensemble des suites $(x'_n)$ satisfaisant à (ii), et $\|u\|=$ inf($\|f\|\|g\|$), la borne inférieure étant prise sur l’ensemble des triplets $(L, f, g)$ satisfaisant aux conditions de (iii).)