Bài tập 26, § 1

Cho E và F là các không gian Banach và $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F.

a) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) Ánh xạ $u$ là compact ;

(ii) Tồn tại một dãy $(x'_n)_n$ hội tụ về 0 trong đối ngẫu mạnh $E'$ của E thỏa mãn $\|u(x)\|\leqslant$ sup$|\langle x, x'_n\rangle |$ với mọi $x\in E$;

(iii) Tồn tại một không gian con đóng L của không gian Banach $c_0$ và các ánh xạ tuyến tính compact $f: E\rightarrow L$ và $g: L\rightarrow F$ sao cho $u=g\circ f$. (Nếu $u$ là compact, áp dụng Hệ quả 1 của EVT, IV, p. 24 cho ảnh bởi $^tu$ của đối cực của quả cầu đơn vị của F. Dưới giả thiết (ii), lấy $(\lambda_n)$ là một phần tử của $c_0$ sao cho dãy $(\lambda^{-1}_nx'_n)$ hội tụ về 0 ; định nghĩa $f$ bởi $f(x) = (\langle x, \lambda^{-1}_nx'_n\rangle )_n$ và lấy L là bao đóng của ảnh của $f.$)

b) Nếu $u$ là compact, ta có $\|u\|=$ inf(sup$_n\|x'_n\|$), cận dưới lớn nhất được lấy trên tập hợp các dãy $(x'_n)$ thỏa mãn (ii), và $\|u\|=$ inf($\|f\|\|g\|$), cận dưới lớn nhất được lấy trên tập hợp các bộ ba $(L, f, g)$ thỏa mãn các điều kiện của (iii).)