Exercice 27, § 1

Soient E et F des espaces localement convexes. On dit qu’une application $u\in \mathscr{L}(E; F)$ est faiblement compacte si c’est une application compacte de E dans F muni de la topologie $\sigma (F,F')$.

a) Les applications faiblement compactes forment un sous-espace $\mathscr{L}^{fc}(E; F)$ de $\mathscr{L}(E; F)$. Soient $E_1, F_1$ des espaces localement convexes, $f\in \mathscr{L}(E_1; E)$, $g\in \mathscr{L}(F; F_1)$ et $u\in \mathscr{L}(E; F)$; si $u$ est faiblement compacte, il en est de même de $g\circ u\circ f$.

b) On a $\mathscr{L}^c(E; F)\subset \mathscr{L}^{fc}(E; F)$. Si E est un espace de Banach réflexif de dimension infinie, l’application identique de E est faiblement compacte mais n’est pas compacte.