Bài tập 27, § 1

Cho $E$ và $F$ là các không gian lồi địa phương. Ta nói rằng một ánh xạ $u\in \mathscr{L}(E; F)$ là yếu compact nếu nó là một ánh xạ compact từ E vào F được trang bị tôpô $\sigma (F,F')$.

(a) Các ánh xạ yếu compact tạo thành một không gian con $\mathscr{L}^{fc}(E; F)$ của $\mathscr{L}(E; F)$. Cho $E_1, F_1$ là các không gian lồi địa phương, $f\in \mathscr{L}(E_1; E)$, $g\in \mathscr{L}(F; F_1)$ và $u\in \mathscr{L}(E; F)$; nếu $u$ là yếu compact, thì điều tương tự cũng đúng đối với $g\circ u\circ f$.

(b) Ta có $\mathscr{L}^c(E; F)\subset \mathscr{L}^{fc}(E; F)$. Nếu E là một không gian Banach phản xạ vô hạn chiều, ánh xạ đồng nhất của E là yếu compact nhưng không compact.