Exercice 28, § 1

Soient E et F des espaces localement convexes et $u\in \mathscr{L}(E; F)$.

a) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) L’image par $u$ de toute partie bornée de E est relativement compacte pour la topologie affaiblie ;

(ii) L’application $^{tt}u$ applique $F''$ dans E.

b) Si F est quasi-complet, démontrer que ces propriétés sont équivalentes à :

(iii) L’application $^tu$ transforme toute partie équicontinue de $F'$ en une partie relativement compacte de $E'$ pour $\sigma (E',E'')$. c) Si E et F sont des espaces de Banach, (i) à (iii) sont équivalentes aussi à

(i’) L’application $u$ est faiblement compacte ;

(iii’) L’application $^tu: F'_b\rightarrow E'_b$ est faiblement compacte.