Bài tập 28, § 1

Cho E và F là các không gian lồi địa phương và $u\in \mathscr{L}(E; F)$.

a) Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) Ảnh bởi $u$ của mọi tập con bị chặn của E là tương đối compact đối với tôpô yếu ;

(ii) Ánh xạ $^{tt}u$ ánh xạ $F''$ vào E.

b) Nếu F là nửa đầy đủ, chứng minh rằng các tính chất này tương đương với:

(iii) Ánh xạ $^tu$ biến mọi tập con liên tục đều của $F'$ thành một tập con tương đối compact của $E'$ đối với $\sigma (E',E'')$. c) Nếu E và F là các không gian Banach, (i) đến (iii) cũng tương đương với

(i’) Ánh xạ $u$ là compact yếu ;

(iii’) Ánh xạ $^tu: F'_b\rightarrow E'_b$ là compact yếu.