Exercice 30, § 1

a) Soient E et F des espaces de Banach et $u\in \mathscr{L}(E; F)$. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) L’image par $u$ d’une partie faiblement compacte de E est (fortement) compacte ;

(ii) L’image par $u$ d’une partie faiblement relativement compacte de E est relativement compacte dans F ;

(iii) L’image par $u$ d’une suite faiblement convergente dans E converge fortement dans F.

(Utiliser le théorème de Šmulian, EVT, IV, p. 36, th. 2.)

On dira que $u$ est semi-compacte[^1] si elle vérifie ces propriétés.

b) Soient E et F des espaces de Banach. Démontrer que l’ensemble $\mathscr{L}^{sc}(E; F)$ des applications semi-compactes est un sous-espace fermé de $\mathscr{L}(E; F)$.

c) Soient E et F des espaces de Banach et $u\in \mathscr{L}(E; F)$. Soient $E_1, F_1$ des espaces de Banach, $f\in \mathscr{L}(E_1; E)$ et $g\in \mathscr{L}(F; F_1)$. Si $u: E\rightarrow F$ est semi-compacte, il en est de même de $g\circ u\circ f$.

d) Soient E et F des espaces de Banach et $u\in \mathscr{L}(E; F)$. Si $u$ est compacte, elle est semi-compacte. Inversement, si E est réflexif et $u$ semi-compacte, alors $u$ est compacte.

e) Soient E et F des espaces de Banach. Si l’espace $E'$ dual de E est de type dénombrable alors toute application linéaire complètement continue $E\rightarrow F$ est compacte.

f) Soit I un ensemble infini ; l’application identique de $\ell^1(I)$ est semi-compacte, mais n’est pas faiblement compacte (cf. EVT, IV, p. 54, exerc. 15). g) L’injection de $\ell^1_K(\mathbf{N})$ dans $\ell^2_K(\mathbf{N})$ est semi-compacte mais n’est pas compacte (cf. loc. cit.).

h) Soit E un espace de Banach. Toute application linéaire continue $E\rightarrow$ $\ell^1_K(\mathbf{N})$ est semi-compacte, et toute application linéaire continue $\ell^1_K(\mathbf{N})\rightarrow E$ est semi-compacte. i) Soit E un espace de Banach. Si E est réflexif ou si son dual est de type dénombrable, alors toute application linéaire continue $E\rightarrow \ell^1_K(\mathbf{N})$ est compacte.

[^1]: Certains auteurs parlent d’applications complètement continues.