Bài tập 30, § 1

a) Cho E và F là các không gian Banach và $u\in \mathscr{L}(E; F)$. Bây giờ chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) Ảnh bởi $u$ của một tập con yếu compact của E là compact (mạnh) ;

(ii) Ảnh bởi $u$ của một tập con yếu tương đối compact của E là tương đối compact trong F ;

(iii) Ảnh bởi $u$ của một dãy hội tụ yếu trong E hội tụ mạnh trong F.

(Dùng định lý của Šmulian, EVT, IV, p. 36, th. 2.)

Ta sẽ nói rằng $u$ là nửa compact[^1] nếu nó thỏa mãn các tính chất này.

b) Cho E và F là các không gian Banach. Bài tập chứng minh rằng tập $\mathscr{L}^{sc}(E; F)$ gồm các ánh xạ nửa compact là một không gian con đóng của $\mathscr{L}(E; F)$.

c) Cho E và F là các không gian Banach và $u\in \mathscr{L}(E; F)$. Cho $E_1, F_1$ là các không gian Banach, $f\in \mathscr{L}(E_1; E)$ và $g\in \mathscr{L}(F; F_1)$. Nếu $u: E\rightarrow F$ là nửa compact, thì điều tương tự cũng đúng với $g\circ u\circ f$.

d) Cho E và F là các không gian Banach và $u\in \mathscr{L}(E; F)$. Nếu $u$ là compact thì nó là nửa compact. Ngược lại, nếu E là phản xạ và $u$ nửa compact, thì $u$ là compact.

e) Cho E và F là các không gian Banach. Nếu không gian $E'$ đối ngẫu của E có kiểu đếm được thì mọi ánh xạ tuyến tính hoàn toàn liên tục $E\rightarrow F$ là compact.

f) Cho I là một tập vô hạn ; ánh xạ đồng nhất của $\ell^1(I)$ là nửa compact, nhưng không yếu compact (xem EVT, IV, p. 54, bài tập 15). g) Đơn ánh của $\ell^1_K(\mathbf{N})$ vào $\ell^2_K(\mathbf{N})$ là nửa compact nhưng không compact (xem loc. cit.).

h) Cho E là một không gian Banach. Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $E\rightarrow$ $\ell^1_K(\mathbf{N})$ là nửa compact, và mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $\ell^1_K(\mathbf{N})\rightarrow E$ là nửa compact. i) Cho E là một không gian Banach. Nếu E là phản xạ hoặc nếu đối ngẫu của nó có kiểu đếm được, thì mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $E\rightarrow \ell^1_K(\mathbf{N})$ là compact.

[^1]: Một số tác giả gọi các ánh xạ hoàn toàn liên tục là như vậy.