Exercice 31, § 1

Soit E un espace de Banach.

a) Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Quel que soit l’espace de Banach F, toute application faiblement compacte de E dans F est semi-compacte ;

(ii) Si $(x_n)$ est une suite tendant vers 0 dans E pour la topologie $\sigma (E,E')$ et $(x'_n)$ une suite tendant vers 0 dans $E'$ pour la topologie $\sigma (E',E'')$, la suite $\langle x_n, x'_n\rangle$ tend vers 0.

(Pour prouver que (i) implique (ii), on prendra $F =c_0$. Si (i) n’est pas satisfaite, il existe une application faiblement compacte $u$ de E dans un espace de Banach F et une suite $(x_n)$ dans E tendant faiblement vers 0, telle que inf($\|u(x_n)\|$)$>0$; on construira une suite $(y_n)$ dans la boule unité de $E'$, convergente pour $\sigma (E',E'')$ et telle que $\langle u(x_n), y_n\rangle =\|u(x_n)\|$, et on prendra $x'_n=y_n-$ lim $y_n.$)

Ces conditions sont vérifiées en particulier lorsque $E =\mathscr{C}$(T), où T est un espace compact, et lorsque $E = L^1(X, \mu)$, ou $E = L^{\infty}(X, \mu)$, où X est un espace localement compact et $\mu$ une mesure sur X (INT, VI, § 2, exerc. 23). b) Démontrer qu’un espace de Banach qui possède les propriétés ci-dessus n’admet pas de facteur direct réflexif de dimension infinie.

c) Soit H un espace de Banach réflexif, et soit B la boule unité de $H'$, munie de la topologie faible. Montrer que H s’identifie à un sous-espace fermé non direct de $\mathscr{C}(B)$.