Bài tập 31, § 1

Cho $E$ là một không gian Banach.

a) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) Với mọi không gian Banach $F$, mọi ánh xạ compact yếu từ E vào F đều là nửa compact ;

(ii) Nếu $(x_n)$ là một dãy tiến tới 0 trong E đối với tôpô $\sigma (E,E')$ và $(x'_n)$ là một dãy tiến tới 0 trong $E'$ đối với tôpô $\sigma (E',E'')$, dãy $\langle x_n, x'_n\rangle$ tiến tới 0.

(Để chứng minh (i) suy ra (ii), ta sẽ lấy $F =c_0$. Nếu (i) không được thỏa mãn, tồn tại một ánh xạ compact yếu $u$ từ E vào một không gian Banach F và một dãy $(x_n)$ trong E tiến yếu tới 0, sao cho inf($\|u(x_n)\|$)$>0$; ta sẽ xây dựng một dãy $(y_n)$ trong quả cầu đơn vị của $E'$, hội tụ đối với $\sigma (E',E'')$ và sao cho $\langle u(x_n), y_n\rangle =\|u(x_n)\|$, và ta sẽ lấy $x'_n=y_n-$ lim $y_n.$)

Các điều kiện này được thỏa mãn riêng khi $E =\mathscr{C}$(T), trong đó T là một không gian compact, và khi $E = L^1(X, \mu)$, hoặc $E = L^{\infty}(X, \mu)$, trong đó X là một không gian compact địa phương và $\mu$ là một độ đo trên X (INT, VI, § 2, exerc. 23). b) Chứng minh rằng một không gian Banach có các tính chất trên không có nhân tử phản xạ trực tiếp nào có chiều vô hạn.

c) Cho H là một không gian Banach phản xạ, và cho B là quả cầu đơn vị của $H'$, được trang bị tôpô yếu. Chứng minh rằng H được đồng nhất với một không gian con đóng không trực tiếp của $\mathscr{C}(B)$.