Exercice 34, § 1

Soit E un espace de Banach. Démontrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) L’espace $E'$ est un espace d’approximation ;

(ii) Pour tout espace de Banach F, l’adhérence de $\mathscr{L}^f(E; F)$ dans $\mathscr{L}(E; F)$ est $\mathscr{L}^c(E; F)$;

(iii) Pour tout sous-espace fermé F de $c_0$, l’adhérence de $\mathscr{L}^f(E; F)$ dans $\mathscr{L}(E; F)$ est $\mathscr{L}^c(E; F)$.