Exercice 35, § 1

Soit E un espace de Banach. On dit que E possède la propriété d’approximation métrique si l’application identique de E est adhérente à l’ensemble des éléments de norme $\leqslant 1$ de $\mathscr{L}^f(E)$ dans l’espace $\mathscr{L}(E)$ muni de la topologie de la convergence compacte.

Démontrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) L’espace E possède la propriété d’approximation métrique ;

(ii) La boule unité de $\mathscr{L}(E)$ est l’adhérence, pour la topologie de la convergence compacte, de l’ensemble des éléments de norme $\leqslant 1$ de $\mathscr{L}^f(E)$;

(iii) Pour tout espace de Banach F, la boule unité de $\mathscr{L}(E; F)$ est l’adhérence, pour la topologie de la convergence compacte, de l’ensemble des éléments de norme $\leqslant 1$ de $\mathscr{L}^f(E; F)$;

(iv) Pour tout espace de Banach F, la boule unité de $\mathscr{L}(F; E)$ est l’adhérence, pour la topologie de la convergence compacte, de l’ensemble des éléments de norme $\leqslant 1$ de $\mathscr{L}^f(F; E)$.