Bài tập 35, § 1

Cho $E$ là một không gian Banach. Người ta nói rằng $E$ có tính chất xấp xỉ mêtric nếu ánh xạ đồng nhất của $E$ thuộc vào tập hợp các phần tử có chuẩn $\leqslant 1$ của $\mathscr{L}^f(E)$ trong không gian $\mathscr{L}(E)$ được trang bị tôpô hội tụ compact.

Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) Không gian E có tính chất xấp xỉ mêtric ;

(ii) Quả cầu đơn vị của $\mathscr{L}(E)$ là bao đóng, đối với tôpô hội tụ compact, của tập hợp các phần tử có chuẩn $\leqslant 1$ của $\mathscr{L}^f(E)$;

(iii) Với mọi không gian Banach F, quả cầu đơn vị của $\mathscr{L}(E; F)$ là bao đóng, đối với tôpô hội tụ compact, của tập hợp các phần tử có chuẩn $\leqslant 1$ của $\mathscr{L}^f(E; F)$;

(iv) Với mọi không gian Banach F, quả cầu đơn vị của $\mathscr{L}(F; E)$ là bao đóng, đối với tôpô hội tụ compact, của tập hợp các phần tử có chuẩn $\leqslant 1$ của $\mathscr{L}^f(F; E)$.