Exercice 4, § 1

On conserve les notations de l’exercice précédent.

a) Soit $v\in \mathscr{L}^c(E)$. Le rayon de convergence de la série formelle det(1 $-tv$) est infini.

b) Soit $(v_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite dans $\mathscr{L}^c(E)$ convergeant vers $v\in \mathscr{L}^c(E)$. La suite des séries formelles det(1 $-tv_n$) converge vers det(1 $-tv$) pour la topologie de la convergence simple des coefficients des séries formelles.

c) Soit $v\in \mathscr{L}^c(E)$. Pour toute extension L de K et tout $x\in L$, on note det(1$-$ $xv$) la valeur en $x$ de la série formelle det(1$-tv$), qui est bien définie d’après a). On a det(1 $+u$) det(1 $+v$) $=$ det(1 $+u+v+u\circ v$).

d) Soient J un ensemble et $F =\mathscr{C}_0(J)$. Pour tous $u\in \mathscr{L}^c(E; F)$ et $v\in$ $\mathscr{L}^c(F; E)$, on a det(1 $-tu\circ v$) $=$ det(1 $-tv\circ u$) en tant que séries formelles. e) Soit $v\in \mathscr{L}^c(E)$. On note Tr($v$) l’opposé du coefficient de $t$ dans det(1$-tu$). Si K est de caractéristique nulle, alors

det(1 $-tu$) $=$ exp$(-\sum$ Tr($mu^m$)$t^m)$

$m\geqslant 1$

en tant que séries formelles.