Bài tập 4, § 1

Ta giữ các ký hiệu của bài tập trước.

a) Cho $v\in \mathscr{L}^c(E)$. Bán kính hội tụ của chuỗi hình thức det(1 $-tv$) là vô hạn.

b) Cho $(v_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy trong $\mathscr{L}^c(E)$ hội tụ đến $v\in \mathscr{L}^c(E)$. Dãy các chuỗi hình thức det(1 $-tv_n$) hội tụ đến det(1 $-tv$) đối với tôpô hội tụ đơn giản của các hệ số của các chuỗi hình thức.

c) Cho $v\in \mathscr{L}^c(E)$. Với mọi mở rộng L của K và mọi $x\in L$, ta ký hiệu bởi det(1$-$ $xv$) giá trị tại $x$ của chuỗi hình thức det(1$-tv$), được xác định tốt theo a). Ta có det(1 $+u$) det(1 $+v$) $=$ det(1 $+u+v+u\circ v$).

d) Cho J là một tập hợp và $F =\mathscr{C}_0(J)$. Với mọi $u\in \mathscr{L}^c(E; F)$ và $v\in$ $\mathscr{L}^c(F; E)$, ta có det(1 $-tu\circ v$) $=$ det(1 $-tv\circ u$) dưới dạng các chuỗi hình thức. e) Cho $v\in \mathscr{L}^c(E)$. Ta ký hiệu bởi Tr($v$) đối của hệ số của $t$ trong det(1$-tu$). Nếu K có đặc số không, thì

det(1 $-tu$) $=$ exp$(-\sum$ Tr($mu^m$)$t^m)$

$m\geqslant 1$

dưới dạng chuỗi hình thức.