Exercice 5, § 1

On conserve les notations de l’exercice précédent. Soit $v\in \mathscr{L}^c(E)$.

a) La série formelle det(1$-tv$)$\sum_{k\geqslant 0}t^kv^k$ dans $\mathscr{L}(E)[[t]]$ a rayon de convergence infini.

b) Soit $\lambda \in K$. L’endomorphisme $1_E-\lambda v$ de E est inversible si et seulement si det(1 $-\lambda v$)$\not = 0$.

c) Soit $\lambda \in K$ tel que det(1 $-\lambda v$) $= 0$. Il existe d’uniques sous-espaces fermés $I_{\lambda}$ et $N_{\lambda}$ de E, stables par $v$, tels que

(i) L’espace E est somme directe topologique de $I_{\lambda}$ et $N_{\lambda}$;

(ii) L’endomorphisme de $I_{\lambda}$ déduit de $1_E-\lambda v$ par passage aux sous-espaces est inversible ;

(iii) L’endomorphisme de $N_{\lambda}$ déduit de $1_E-\lambda v$ par passage aux sous-espaces est nilpotent.

d) Soit $h\geqslant 1$ l’ordre du zéro $\lambda$ de det(1 $-tv$). On a dim(N$_{\lambda}$) $=h$.

Le résultat de cet exercice est à rapprocher de ceux du n$^o5$ de III, p. 77, qui concernent les espaces de Banach sur $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$.

Dans la suite, K désigne le corps $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$ et tous les espaces vectoriels topologiques sont sur K.