Bài tập 5, § 1

Kí hiệu của bài tập trước được giữ lại. Cho $v\in \mathscr{L}^c(E)$.

a) Chuỗi hình thức det(1$-tv$)$\sum_{k\geqslant 0}t^kv^k$ trong $\mathscr{L}(E)[[t]]$ có bán kính hội tụ vô hạn.

b) Cho $\lambda \in K$. Tự đồng cấu $1_E-\lambda v$ của E là khả nghịch khi và chỉ khi det(1 $-\lambda v$)$\not = 0$.

c) Cho $\lambda \in K$ sao cho det(1 $-\lambda v$) $= 0$. Tồn tại duy nhất các không gian con đóng $I_{\lambda}$ và $N_{\lambda}$ của E, ổn định đối với $v$, sao cho

(i) Không gian E là tổng trực tiếp tôpô của $I_{\lambda}$ và $N_{\lambda}$;

(ii) Tự đồng cấu của $I_{\lambda}$ suy ra từ $1_E-\lambda v$ bằng cách chuyển qua các không gian con là khả nghịch ;

(iii) Tự đồng cấu của $N_{\lambda}$ suy ra từ $1_E-\lambda v$ bằng cách chuyển qua các không gian con là lũy linh.

d) Cho $h\geqslant 1$ là cấp của không $\lambda$ của det(1 $-tv$). Ta có dim(N$_{\lambda}$) $=h$.

Kết quả của bài tập này được so sánh với các kết quả của no$^o5$ của III, p. 77, liên quan đến các không gian Banach trên $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$.

Trong phần tiếp theo, K kí hiệu trường $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$ và mọi không gian vectơ tôpô đều trên K.