Exercice 6, § 1

Soit E l’espace $\mathbf{C}^{\mathbf{N}}$ muni de la topologie associée à la suite de semi-normes $(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$ donnée par $p_n(x) =|x_n|$ pour tout élément $x= (x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de E.

a) L’espace E est un espace de Fréchet. b) L’ensemble $\mathscr{L}^c(E)$ des endomorphismes compacts de E n’est pas fermé dans $\mathscr{L}(E)$.