Exercice 9, § 1

Pour tout couple $(x, y)\in ]0,1]^2$, il existe un entier $n\geqslant 1$ et un entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant 2^{n-1}-1$ de sorte que

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On définit alors $N : ]0,1]\times ]0,1]\rightarrow \mathbf{C}$ en posant

$\{2$ si $\frac{2k}{2^n}< y\leqslant \frac{2k+1}{2^n}$

0 si $\frac{2k+1}{2^n}< y\leqslant \frac{2k+1}{2^n}$.

a) Montrer que la formule

définit une application linéaire continue $u$ sur $L^1([0,1])$ par rapport à la mesure de Lebesgue.

b) Montrer que l’endomorphisme $u$ n’est pas compact.

c) L’endomorphisme $u^2$ est compact.

d) Soit $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite bornée dans $L^1([0,1])$. La suite $(u(x_n))_{n\in\mathbf{N}}$ admet une sous-suite faiblement convergente.

e) Soit $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite faiblement convergente dans $L^1([0,1])$. La suite $(u(x_n))_{n\in\mathbf{N}}$ converge dans $L^1([0,1])$.

f) Soit E l’espace vectoriel topologique dont les éléments sont les fonctions $f: [0,1]\rightarrow \mathbf{C}$ qui sont bornées et mesurables, muni de la topologie la plus fine qui soit plus forte que la topologie de $L^2([0,1])$ et que la topologie faible relative à $L^1([0,1])$. Alors l’application linéaire $v$ définie par

est un endomorphisme compact de E. Sa transposée $^tv$ n’est pas compacte pour la topologie forte sur $E'$.