Bài tập 9, § 1

Với mỗi cặp $(x, y)\in ]0,1]^2$, tồn tại một số nguyên $n\geqslant 1$ và một số nguyên $k$ sao cho $0\leqslant k\leqslant 2^{n-1}-1$ sao cho

2 2

Sau đó ta định nghĩa $N : ]0,1]\times ]0,1]\rightarrow \mathbf{C}$ bằng cách đặt

$\{2$ nếu $\frac{2k}{2^n}< y\leqslant \frac{2k+1}{2^n}$

0 nếu $\frac{2k+1}{2^n}< y\leqslant \frac{2k+1}{2^n}$.

a) Bây giờ chứng minh rằng công thức

định nghĩa một ánh xạ tuyến tính liên tục $u$ trên $L^1([0,1])$ đối với độ đo Lebesgue.

b) Bây giờ chứng minh rằng tự đồng cấu $u$ không compact.

c) Tự đồng cấu $u^2$ là compact.

d) Cho $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy bị chặn trong $L^1([0,1])$. Dãy $(u(x_n))_{n\in\mathbf{N}}$ có một dãy con hội tụ yếu.

e) Cho $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy hội tụ yếu trong $L^1([0,1])$. Dãy $(u(x_n))_{n\in\mathbf{N}}$ hội tụ trong $L^1([0,1])$.

f) Cho E là không gian vectơ tôpô mà các phần tử của nó là các hàm $f: [0,1]\rightarrow \mathbf{C}$ bị chặn và đo được, được trang bị tôpô mạnh nhất mạnh hơn tôpô của $L^2([0,1])$ và mạnh hơn tôpô yếu tương đối với $L^1([0,1])$. Khi đó ánh xạ tuyến tính $v$ được định nghĩa bởi

là một tự đồng cấu compact của E. Chuyển vị $^tv$ của nó không compact đối với tôpô mạnh trên $E'$.