Exercice 2, § 2

Soient $X =]0,1[$ et $\mu$ la mesure de Lebesgue sur X. On définit une suite $(f_n)_{n\geqslant 1}$ de fonctions $X\rightarrow \mathbf{R}$ en posant

2 sin(2$n\pi x$) si $0< x <1/2$

$f_{2n}(x) =-2^n$ si $1-2^{-2n}< x <1-2^{-2n-1}$

0 sinon,

et

2 sin(2$n\pi x$) si $0< x <1/2$

$f_{2n-1}(x) =2^n$ si $1-2^{-2n}< x <1-2^{-2n-1}$

0 sinon,

pour tout $n\geqslant 1$ et tout $x\in X$.

a) La famille $(f_n)_{n\geqslant 1}$ est orthonormale dans $\mathscr{L}^2(X, \mu)$.

b) Pour tout $(x, y)\in X\times X$, on pose

Montrer que $|N(x, y)|\leqslant 2^{3/2}$ pour tout $(x, y)\in X\times X$. En déduire que $N_y\in \mathscr{L}^{\infty}(X)$ pour tout $y\in X$ et que

c) Montrer qu’en posant

pour $f\in \mathscr{L}^1(X, \mu)$ et $y\in X$, on définit par passage aux quotients une application linéaire continue de $L^1(X, \mu)$ dans $L^2(X, \mu)$.

d) L’application linéaire $u_N$ n’est pas compacte. (Considérer la suite $g_n=$ $2^n(f_{2n-1}-f_{2n})$; montrer que $g_n$ est intégrable et que la suite $(u_N(g_n))$ dans $L^2(X, \mu)$ n’admet pas de sous-suite convergente.)