Bài tập 2, § 2

Cho $X =]0,1[$ và $\mu$ là độ đo Lebesgue trên X. Ta định nghĩa một dãy $(f_n)_{n\geqslant 1}$ các hàm $X\rightarrow \mathbf{R}$ bằng cách đặt

2 sin(2$n\pi x$) nếu $0< x <1/2$

$f_{2n}(x) =-2^n$ nếu $1-2^{-2n}< x <1-2^{-2n-1}$

0 nếu không,

và

2 sin(2$n\pi x$) nếu $0< x <1/2$

$f_{2n-1}(x) =2^n$ nếu $1-2^{-2n}< x <1-2^{-2n-1}$

0 nếu không,

với mọi $n\geqslant 1$ và mọi $x\in X$.

a) Họ $(f_n)_{n\geqslant 1}$ là trực chuẩn trong $\mathscr{L}^2(X, \mu)$.

b) Với mọi $(x, y)\in X\times X$, đặt

Bây giờ chứng minh rằng $|N(x, y)|\leqslant 2^{3/2}$ với mọi $(x, y)\in X\times X$. Suy ra rằng $N_y\in \mathscr{L}^{\infty}(X)$ với mọi $y\in X$ và rằng

c) Bây giờ chứng minh rằng, bằng cách đặt

với $f\in \mathscr{L}^1(X, \mu)$ và $y\in X$, ta định nghĩa bằng cách chuyển qua thương một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $L^1(X, \mu)$ vào $L^2(X, \mu)$.

d) Ánh xạ tuyến tính $u_N$ không compact. (Xét dãy $g_n=$ $2^n(f_{2n-1}-f_{2n})$; chứng minh rằng $g_n$ khả tích và rằng dãy $(u_N(g_n))$ trong $L^2(X, \mu)$ không có dãy con hội tụ.)