Exercice 4, § 3

Soit E un espace hilbertien complexe de dimension infinie.

a) Le groupe $\mathbf{U}(E)$ des opérateurs unitaires sur E, muni de la topologie induite par la norme de $\mathscr{L}$ (E), est connexe par arcs. (Montrer que si $u$ est unitaire, il existe un opérateur hermitien $v$ tel que $u=$ exp($iv$)$.$) b) Le groupe des isomorphismes linéaires de E est connexe par arcs. (Utiliser la décomposition polaire, cf. I, p. 139, déf. 3.)

c) Pour tout $n\in \mathbf{Z}$, l’ensemble des endomorphismes de Fredholm de E d’indice $n$ est ouvert et connexe. Il n’est pas vide.