Bài tập 4, § 3

Cho E là một không gian Hermit phức vô hạn chiều.

a) Nhóm $\mathbf{U}(E)$ các toán tử unita trên E, được trang bị tôpô cảm sinh bởi chuẩn của $\mathscr{L}$ (E), là liên thông cung. (Chứng minh rằng nếu $u$ là unita, tồn tại một toán tử Hermit $v$ sao cho $u=$ exp($iv$)$.$) b) Nhóm các đẳng cấu tuyến tính của E là liên thông cung. (Sử dụng phân tích cực, xem I, p. 139, Định nghĩa 3.)

c) Với mọi $n\in \mathbf{Z}$, tập hợp các tự đồng cấu Fredholm của E có chỉ số $n$ là mở và liên thông. Nó không rỗng.