Exercice 5, § 3

Soient E et F des espaces de Banach de dimension infinie. Une application linéaire continue $u: E\rightarrow F$ est dite strictement singulière s’il n’existe pas de sous-espace fermé $F_1\subset E$ de dimension infinie tel que $u$ définit par passage aux sous-espaces un isomorphisme de $F_1$ sur $u(F_1)$.

a) Soit $u$ une application linéaire continue de E dans F. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) L’application $u$ est strictement singulière ;

(ii) Pour tout sous-espace fermé $F_1$ de E de dimension infinie, il n’existe pas de nombre réel $\delta >0$ tel que $\|u(x)\|\geqslant \delta \|x\|$ pour tout $x\in F_1$.

b) Soit $u: E\rightarrow F$ une application linéaire continue telle que l’image de $u$ soit fermée et le noyau de $u$ de dimension finie. Si $v: E\rightarrow F$ est strictement singulière alors l’image de $u+v$ est fermée et son noyau est de dimension finie.

c) L’ensemble des endomorphismes strictement singuliers de E est un idéal bilatère fermé de $\mathscr{L}(E)$.

d) Toute application linéaire compacte est strictement singulière. Si E et F sont des espaces hilbertiens, alors toute application strictement singulière $E\rightarrow F$ est compacte.

e) Il existe des espaces de Banach E et F et une application strictement singulière non compacte $E\rightarrow F$.

f) Soient $p$ et $r$ des nombres réels tels que $1\leqslant p < r$. Toute application linéaire continue $\ell^r_K(\mathbf{N})\rightarrow \ell^p_K(\mathbf{N})$ est strictement singulière. (Utiliser l’exercice 10 de III, p. 106.)