Bài tập 5, § 3

Cho E và F là các không gian Banach vô hạn chiều. Một ánh xạ tuyến tính liên tục $u: E\rightarrow F$ được gọi là kỳ dị chặt nếu không tồn tại một không gian con đóng $F_1\subset E$ có số chiều vô hạn sao cho $u$ xác định, bằng cách chuyển qua các không gian con, một đẳng cấu của $F_1$ lên $u(F_1)$.

a) Cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Ánh xạ $u$ là kỳ dị chặt ;

(ii) Với mọi không gian con đóng $F_1$ của E có số chiều vô hạn, không tồn tại một số thực $\delta >0$ sao cho $\|u(x)\|\geqslant \delta \|x\|$ với mọi $x\in F_1$.

b) Cho $u: E\rightarrow F$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục sao cho ảnh của $u$ là đóng và hạt nhân của $u$ có số chiều hữu hạn. Nếu $v: E\rightarrow F$ là kỳ dị chặt thì ảnh của $u+v$ là đóng và hạt nhân của nó có số chiều hữu hạn.

c) Tập hợp các tự đồng cấu kỳ dị chặt của E là một iđêan hai phía đóng của $\mathscr{L}(E)$.

d) Mọi ánh xạ tuyến tính compact đều là kỳ dị chặt. Nếu E và F là các không gian Hilbert, thì mọi ánh xạ kỳ dị chặt $E\rightarrow F$ đều là compact.

e) Có tồn tại các không gian Banach E và F và một ánh xạ kỳ dị chặt không compact $E\rightarrow F$.

f) Cho $p$ và $r$ là các số thực sao cho $1\leqslant p < r$. Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $\ell^r_K(\mathbf{N})\rightarrow \ell^p_K(\mathbf{N})$ đều là kỳ dị chặt. (Dùng Bài tập 10 của III, p. 106.)