Exercice 7, § 3

Tag 02SF, permanent. Cite it as [Bourbaki, Tag 02SF].

Théories spectrales, III, p. 121

Soient E et F des espaces de Banach, $u$ un élément de $\mathscr{L}(E; F)$ . Démontrer que $u$ est une application de Fredholm si et seulement si les conditions suivantes sont réalisées :

(i) Il existe une semi-norme continue $p$ sur E et $C\geqslant 0$ tels que l’application canonique de E dans l’espace séparé complété de $(E, p)$ est compacte, et

\|x\|\leqslant C\|u(x)\|+p(x)

pour tout $x\in E$ ;

(ii) Il existe une semi-norme $q$ continue sur $F'$ et $C'\geqslant 0$ tels que l’application canonique de $F'$ dans l’espace séparé complété de $(F', q)$ est compacte, et

\|y'\|\leqslant C'\|^tu(y')\|+q(y')

pour tout $y'\in F'$ .

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