Bài tập 7, § 3

Cho $E$ và $F$ là các không gian Banach, $u$ là một phần tử của $\mathscr{L}(E; F)$. Chứng minh rằng $u$ là một ánh xạ Fredholm khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Tồn tại một nửa chuẩn liên tục $p$ trên E và $C\geqslant 0$ sao cho ánh xạ chính tắc từ E vào bao hoàn tất tách của $(E, p)$ là compact, và

với mọi $x\in E$;

(ii) Tồn tại một nửa chuẩn liên tục $q$ trên $F'$ và $C'\geqslant 0$ sao cho ánh xạ chính tắc từ $F'$ vào bao hoàn tất tách của $(F', q)$ là compact, và

với mọi $y'\in F'$.