Exercice 1, § 6

Soit A une partie compacte de $\mathbf{C}$ qui est égale à l’adhérence de son intérieur V. On note $\mathscr{C}(A) =\mathscr{C}(A;\mathbf{C})$. Soit B(A) le sous-espace vectoriel de $\mathscr{C}(A)$ formé des fonctions $f\in \mathscr{C}(A)$ dont la restriction à V est holomorphe ; c’est une sous-algèbre de Banach de $\mathscr{C}(A)$. Soit $u\in \mathscr{L}(B(A))$ l’application linéaire telle que $u(f)(z) =zf(z)$ pour tout $z\in A$ et tout $f\in B(A)$.

a) Le spectre de $u$ est égal à A.

b) Pour tout $z\in V$, l’endomorphisme $u-z$ de B(A) est un endomorphisme de Fredholm d’indice 1.

c) Pour tout $z\in A$ - V, l’endomorphisme $u-z$ de B(A) n’est pas un endomorphisme de Fredholm.

d) Le spectre stable de $u$ est la frontière de A, le spectre sensible de $u$ est vide, et le spectre essentiel de $u$ est A.

e) On suppose que le complémentaire de A dans $\mathbf{C}$ est connexe. Pour tout $h\in \mathscr{L}^c$(B(A)), le spectre essentiel de $u+h$ est égal à A.