Bài tập 1, § 6

Cho $A$ là một tập con compact của $\mathbf{C}$ bằng với bao đóng của phần trong V của nó. Ta ký hiệu $\mathscr{C}(A) =\mathscr{C}(A;\mathbf{C})$. Gọi B(A) là không gian con vectơ của $\mathscr{C}(A)$ tạo bởi các hàm $f\in \mathscr{C}(A)$ mà hạn chế của chúng trên V là chỉnh hình; đó là một đại số Banach con của $\mathscr{C}(A)$. Cho $u\in \mathscr{L}(B(A))$ là ánh xạ tuyến tính sao cho $u(f)(z) =zf(z)$ với mọi $z\in A$ và mọi $f\in B(A)$.

(a) Phổ của $u$ bằng A.

(b) Với mọi $z\in V$, tự đồng cấu $u-z$ của B(A) là một tự đồng cấu Fredholm có chỉ số 1.

(c) Với mọi $z\in A$ - V, tự đồng cấu $u-z$ của B(A) không phải là một tự đồng cấu Fredholm.

(d) Phổ ổn định của $u$ là biên của A, phổ nhạy của $u$ là rỗng, và phổ cốt yếu của $u$ là A.

(e) Giả sử phần bù của A trong $\mathbf{C}$ là liên thông. Với mọi $h\in \mathscr{L}^c$(B(A)), phổ cốt yếu của $u+h$ bằng A.