Exercice 11, § 6

Soit A une matrice réelle de type $(I,I)$, positive et irréductible. On note $\psi \in \mathbf{R}[X]$ le polynôme minimal de A et on pose $m=$ deg($\psi$ ).

Pour tout entier $q$, posons $A^q= (a^{(q)}_{ij})_{i,j\in I}$.

Pour tout $(i, j)\in I^2$, il existe un entier $q$ tel que $1\leqslant q\leqslant m$ et $a^{(q)}_{ij}>0$. (Soit $r$ le reste de la division euclidienne de $(1 + X)^{n-1}$ par $\psi$; considérer la matrice $r($A) et observer qu’elle est strictement positive.)