Bài tập 11, § 6

Cho $A$ là một ma trận thực kiểu $(I,I)$, dương và bất khả quy. Ta ký hiệu $\psi \in \mathbf{R}[X]$ là đa thức cực tiểu của A và đặt $m=$ deg($\psi$ ).

Với mọi số nguyên $q$, đặt $A^q= (a^{(q)}_{ij})_{i,j\in I}$.

Với mọi $(i, j)\in I^2$, tồn tại một số nguyên $q$ sao cho $1\leqslant q\leqslant m$ và $a^{(q)}_{ij}>0$. (Gọi $r$ là phần dư của phép chia Euclid của $(1 + X)^{n-1}$ cho $\psi$; xét ma trận $r($A) và nhận xét rằng nó là dương ngặt.)