Exercice 12, § 6

Soit A une matrice réelle de type $(I,I)$, irréductible et positive. Pour tout $x\in \mathbf{R}^I$ non nul, on pose

$r=$ inf$_{xxi_i\in\not=0I}\frac{(Ax)_i}{x_i}$,

où ($Ax$)$_i=\sum_{k\in I}a_{ik}x_k$ est la coordonnée de $Ax$ d’indice $i$.

a) Si $x\succcurlyeq 0$ et $x\not = 0$, alors $r_x$ est le plus grand nombre réel $\varrho$ tel que $\varrho x\preccurlyeq Ax$. b) Supposons que $x\succcurlyeq 0$ et posons $y= (1_I+$ A$)x$. On a alors $r_x\leqslant r_y$.

c) La restriction à $(\mathbf{R}_+^*)^I$ de la fonction $x\mapsto r_x$ est continue.

d) En déduire qu’il existe $z\in \mathbf{R}^I$ tel que $z\succcurlyeq 0$ et tel que $r_z=$ sup$_{x\succcurlyeq 0}r_x$. (Utiliser les ensembles compacts $M =\{x\in \mathbf{R}_+^I|\sum_{i\in I}x_i= 1\}$ ainsi que $(1_I+$ A)$^{n-1}$(M), puis l’exercice 10.)

On note $r=r_z$. Un élément $z$ de $\mathbf{R}^I$ tel que $z\succcurlyeq 0$ et $r_z=r$ sera dit extrémal.

e) On a $r >0$.

f) Si $z$ est un vecteur extrémal, alors $Az=rz$. (Si $u=Az-rz\succcurlyeq 0$ était non nul, alors $(1_I+$ A)$^{n-1}u$ serait $\succ 0$ d’après l’exercice 10 et, pour $x= (1_I+$ A$)^{n-1}z$, on aurait $Ax\succ rx.)$

g) Tout élément extrémal est $\succ 0$.

Pour tout vecteur $y$ dans $\mathbf{C}^I$, on note $y^+$ le vecteur $(|y_i|)_{i\in I}$; on a donc $y^+\in \mathbf{R}^I$ et $y^+\succcurlyeq 0$.

h) Soient $\alpha \in \mathbf{C}$ une valeur propre de A, vue comme matrice complexe, et $y$ dans $\mathbf{C}^I$ un vecteur propre correspondant. On a $|\alpha |y^+\preccurlyeq Ay^+$ et $|\alpha |\leqslant r$.

i) En déduire que si $\alpha =r$, toutes les coordonnées de $y$ sont non nulles, puis que l’espace propre (dans $\mathbf{C}^I$) de A associé à la valeur propre $r$ est de dimension 1.

On note Δ(X) le déterminant de $X\cdot 1_I-A$ et B(X) la transposée de la matrice des cofacteurs de $X\cdot 1_I-A$. On note B(X) = ($B_{ij}(X)$)$_{i,j\in I}$. On a donc B$(X)(X\cdot 1_I-A) = (X\cdot 1_I-A$)B$(X) = \Delta (X)\cdot 1_E$ (A, III, p. 99, prop. 12). j) Pour tout $i\in I$, la colonne d’indice $i$ de B$(r)$ est non nulle. (Si ce n’est pas le cas, construire un vecteur propre de A associé à la valeur propre $r$ et dont le coefficient d’indice $i$ soit nul, en contradiction avec la question f).) k) Tous les coefficients de B$(r)$ sont du même signe. (Montrer d’abord, à l’aide de la relation $(r1_I-A$)B$(r) = 0$, que pour tout $i\in I$, tous les coefficients de la colonne d’indice $i$ de B$(r)$ sont non nuls et du même signe, puis raisonner avec les transposées.)

l) On a $\Delta '(r)>0$ et $B_{ij}(r)>0$ pour tout $(i, j)\in I^2$. (Utiliser la formule $\Delta '(X) =\sum_iB_{ii}(X)$ et observer que $\Delta '$ ne change pas de signe sur l’intervalle $[r,+\infty ].$)

m) En conclure que $r$ est une racine simple du polynôme caractéristique de A.