Bài tập 12, § 6

Cho $A$ là một ma trận thực kiểu $(I,I)$, bất khả quy và dương. Với mọi $x\in \mathbf{R}^I$ khác không, đặt

$r=$ inf$_{xxi_i\in\not=0I}\frac{(Ax)_i}{x_i}$,

trong đó ($Ax$)$_i=\sum_{k\in I}a_{ik}x_k$ là tọa độ có chỉ số $i$ của $Ax$.

a) Nếu $x\succcurlyeq 0$ và $x\not = 0$, thì $r_x$ là số thực lớn nhất $\varrho$ sao cho $\varrho x\preccurlyeq Ax$. b) Giả sử rằng $x\succcurlyeq 0$ và đặt $y= (1_I+$ A$)x$. Khi đó $r_x\leqslant r_y$.

c) Hạn chế của hàm $x\mapsto r_x$ trên $(\mathbf{R}_+^*)^I$ là liên tục.

d) Suy ra rằng tồn tại $z\in \mathbf{R}^I$ sao cho $z\succcurlyeq 0$ và sao cho $r_z=$ sup$_{x\succcurlyeq 0}r_x$. (Sử dụng các tập compact $M =\{x\in \mathbf{R}_+^I|\sum_{i\in I}x_i= 1\}$ cũng như $(1_I+$ A)$^{n-1}$(M), sau đó là Bài tập 10.)

Ta chú ý $r=r_z$. Một phần tử $z$ của $\mathbf{R}^I$ sao cho $z\succcurlyeq 0$ và $r_z=r$ sẽ được gọi là cực trị.

e) Ta có $r >0$.

f) Nếu $z$ là một vectơ cực trị, thì $Az=rz$. (Nếu $u=Az-rz\succcurlyeq 0$ là khác không, thì $(1_I+$ A)$^{n-1}u$ sẽ là $\succ 0$ theo Bài tập 10 và, với $x= (1_I+$ A$)^{n-1}z$, ta sẽ có $Ax\succ rx.)$

g) Mọi phần tử cực trị đều là $\succ 0$.

Với mọi vectơ $y$ trong $\mathbf{C}^I$, ta ký hiệu bởi $y^+$ vectơ $(|y_i|)_{i\in I}$; do đó ta có $y^+\in \mathbf{R}^I$ và $y^+\succcurlyeq 0$.

h) Cho $\alpha \in \mathbf{C}$ là một trị riêng của A, được xem như một ma trận phức, và cho $y$ trong $\mathbf{C}^I$ là một vectơ riêng tương ứng. Ta có $|\alpha |y^+\preccurlyeq Ay^+$ và $|\alpha |\leqslant r$.

i) Suy ra rằng nếu $\alpha =r$, mọi tọa độ của $y$ đều khác không, thì không gian riêng (trong $\mathbf{C}^I$) của A liên kết với trị riêng $r$ có chiều 1.

Ta ký hiệu bởi Δ(X) định thức của $X\cdot 1_I-A$ và bởi B(X) chuyển vị của ma trận các phần bù đại số của $X\cdot 1_I-A$. Ta ký hiệu B(X) = ($B_{ij}(X)$)$_{i,j\in I}$. Do đó ta có B$(X)(X\cdot 1_I-A) = (X\cdot 1_I-A$)B$(X) = \Delta (X)\cdot 1_E$ (A, III, p. 99, Mệnh đề 12). j) Với mọi $i\in I$, cột có chỉ số $i$ của B$(r)$ là khác không. (Nếu không phải như vậy, hãy xây dựng một vectơ riêng của A liên kết với trị riêng $r$ và có hệ số chỉ số $i$ bằng không, mâu thuẫn với câu hỏi f).) k) Tất cả các hệ số của B$(r)$ có cùng dấu. (Trước hết hãy chứng minh, sử dụng quan hệ $(r1_I-A$)B$(r) = 0$, rằng với mọi $i\in I$, tất cả các hệ số của cột có chỉ số $i$ của B$(r)$ đều khác không và có cùng dấu, sau đó lập luận với các chuyển vị.)

l) Ta có $\Delta '(r)>0$ và $B_{ij}(r)>0$ với mọi $(i, j)\in I^2$. (Sử dụng công thức $\Delta '(X) =\sum_iB_{ii}(X)$ và nhận xét rằng $\Delta '$ không đổi dấu trên khoảng $[r,+\infty ].$)

m) Kết luận rằng $r$ là một nghiệm đơn của đa thức đặc trưng của A.