Exercice 13, § 6

Soit A (resp. C) une matrice carrée réelle (resp. complexe) de type $(I,I)$. On suppose que A est positive et irréductible et que $C^+\preccurlyeq A$, où, de manière similaire à l’exercice 12, on note $C^+$ la matrice dont les coefficients sont les modules des coefficients de C, et l’on écrit $C^+\preccurlyeq A$ pour signifier que les coefficients de $A-C^+$ sont positifs.

On reprend les notations de l’exercice précédent.

a) Soit $\gamma \in \mathbf{C}$ une valeur propre de C et soit $y$ dans $\mathbf{C}^I$ un vecteur propre associé. On a $|\gamma |y^+\preccurlyeq C^+y^+\preccurlyeq Ay^+$ et $|\gamma |\leqslant r_{y^+}\leqslant r$.

b) On suppose de plus que $|\gamma |=r$. Alors $y^+$ est un vecteur extrémal pour A (cf. question f) de l’exercice 12), et on a les relations $Ay^+=C^+y^+=ry^+$ et A = $C^+$.

Soit $u$ (resp. $u_j$, pour $j\in I$) l’unique nombre complexe tel que $\gamma =|\gamma |u$ (resp. $y_j=|y_j|u_j$, pour $j\in I$). Notons D la matrice carrée complexe de type $(I,I)$ dont les coefficients diagonaux sont $(u_j)_{j\in I}$ et dont les autres coefficients sont nuls, de sorte que $y=Dy^+$. Soit F $=u^{-1}D^{-1}$ CD.

c) On a $Fy^+=ry^+$ et $F^+y^+=Fy^+$. (Observer que $F^+=C^+.$)

d) On a F = $F^+$ et C $=u$DAD$^{-1}$.